全红婵再次摘金（图片来源：新浪微博）


从东京奥运会到全运会，中国跳水队进入神仙打架的“众神时代”，其中最受吃瓜群众关注的无非是睁眼6次挑战过山车、跳水队团宠、神秘的水花消失术传承人——全红婵。每当看到体操比赛和跳水比赛中选手们在空中实现完美转体，大院er总会疑惑，根据牛顿运动定律，物体是不可能凭空给自己一个力使自己的运动状态发生改变的，就好像你不能拔着自己的头发把自己提起来一样。物理学定律不管用了吗？


想要从理论层面攻破全红婵妹妹空中转体的秘密，就要先从物理学里另一个基础定律——角动量守恒说起。


什么是角动量守恒？


要想掌握空中转体的秘诀，先要了解新的物理学概念：力矩、角动量。（请允许我进行亿点点......证明）


首先我们来看什么是力矩。如下图，假设我们的身体是这个圆盘，为使圆盘绕Oz轴转动，我们在距O为r 的P点施加一外力F，那么力矩就为：
力矩（图片来源：文献1）


O到力线的距离d 叫做力臂，此时力矩大小为M=Frsinθ=Fd。



这里可以联系初中的杠杆知识理解。假设当我们打开一扇门，将z轴看作门轴，z轴与r 构成的平面是门，P点是门把手的位置。当力F 的方向垂直于门的平面时，力臂d=r，此时力矩最大，门最容易打开；当F 力的方向沿着r 时，力臂d=0，力矩为0，门是无论如何都打不开的。（每个物理量头上的半个躺平箭头形象指出了这个物理量在空间的指向，即为矢量）


简单来说，我们可以认为力矩是物体转动的动力来源。


那什么是角动量呢？角动量的定义为：




它与力矩符合如下关系：






或者






这就是质点的角动量定理：作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对O的角动量随时间的变化率。也就是说，角动量是力矩在时间上的累积。



一如年轮是树木的生命随着时序更替的累积，我们也可以计算力矩在一去不复返的时间轴上的累积：




但如果质点所受合力矩为0，累积无效，角动量不变。即：




这就是角动量守恒定律：质点所受对参考点的合力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。



在上文开门的例子中，力F 的方向沿着r 时，合外力矩为零，角动量也为零，对于门的作用力没有任何转动效果。假使地球绕太阳的公转是匀速圆周运动，太阳与地球间引力沿着径矢，引力力矩为零，角动量不变，转动的效果也不变，每一圈都是一年。


由于全红婵妹妹在空中运动时身体各个部分的相对位置时刻在发生变化，不能将全红婵妹妹看成一个质点，但是我们可以把她看成一个质点系。在空中整个质点系围绕质心转动，重力通过质心轴，重力力矩为零，因而这个质点系的角动量是守恒的。质点之间角动量互为增减，但总角动量不变，就好像两个小朋友不断将皮球抛给对方一样。


对于由多个质点构成的质点系，我们需要继续理解一个概念：刚体。


如果一个物体在外力作用下，其内部任意两点间的相对位置都不会改变，这个物体就可以称为刚体。刚体仍然是一个理想模型（即使在再小的力的作用下，物体也会发生肉眼看不见的微小形变）。以下图的刚体为例求其角动量。


刚体示意图（图片来源：文献1）


取以角速度ω（单位时间内转过的角度）绕定轴Oz转动的刚体上任意一点mi，距离中心轴为ri ，这一点对转轴的角动量为:




由于刚体上所有质点以相同角速度绕Oz轴转动，刚体所有质点对转轴的角动量求和为：


叫做刚体绕Oz轴的转动惯量,写作:



可以将转动惯量理解为一种转动惯性，类比于平动物体的质量就比较容易理解——在物体的平动中，物体质量越大，惯性越大，越难改变运动状态。比如大卡车和小汽车相撞，小汽车可能飞出去，大卡车仍然岿然不动。同样，转动惯量越大，越难改变转动状态。


刚体对转轴的角动量可写作：




刚体的角动量守恒定律可以写作：


 若M=0,则有L=Jω=常量


刚体相对于定轴的转动惯量不变，但非刚体的转动惯量大小却与物体内部质量分布有关。质点相对位置变化意味着质点系质量重新分布，转动惯量随之改变。质点分布相对于质心越离散，转动惯量越大，反之越小。


接下来我们可以解释全红婵妹妹是怎么在空中实现转体的了。



图片来源：（咪咕视频）


由于全红婵妹妹不是刚体，但可以看作离散质点构成的质点系。当她下落时，首先张开双臂，使得一些质点分布远离转轴，转动惯量增大，转动的角速度减小，借此结束转动；然后在空中将手臂和腿蜷缩起来，使得质点分布靠近转轴，转动惯量减小，从而获得更大的角速度，我们可以看到她有迅速翻腾几周的动作；在快入水时，又将手臂和腿伸展开，增大转动惯量，减小转动角速度，保证以一定方向入水。所以在空翻时，直体旋转的难度就大于团身动作。


那些你没发现的角动量守恒


俗话说，生活中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。角动量守恒往往像空气一般真实存在而不被看见。例如——地球为什么会自转？


这要从太阳系的形成说起。约46亿年前，太阳系还是一片巨量原始星云，直径长达几光年。彼时附近一颗超新星爆发，使原始星云密度增加，并在引力的作用下坍缩。在外部干扰的推动下，整个星云向中心旋转坍缩，原始太阳形成。同理，其他行星也坍缩形成。整个太阳系角动量守恒，地球也继承了一部分，这就是地球自转角动量的来源。


如果我们能够在飞升于太阳系之上向下俯视，会发现太阳系如旋涡般绕行，拖拽而出的美丽光芒一如儿童过年放的旋转烟花。而其中的行星，又带着自己的卫星拖拽着一个个更微观的小旋涡，仿佛旋转是它们永恒的主题。


朝气蓬勃的太阳不时迸发的太阳风扫清了残余物质，保证地球及其它行星不会受到外力干扰，以各自的角动量继续运行。不过在地月系统的小旋涡里，月球的潮汐力正使地球的自转日益变慢。转速变小，转动惯量变大，这直接导致了虽然“今月曾经照古人”，但“今人不见古时月”——地月距离逐渐变大，我们已经看不到古代那样高悬天际的明月。


理论上，你也可以通过原地打转的方式，分得一点点地球自转的角动量，使地球自转变慢。这样，你就可以延长这一天的时间了。


如上文所述，角动量守恒还可以解释行星的公转。一如古人朴素的完美主义，我们常常把行星绕太阳的公转处理成完美的圆周运动，但实际上，行星的轨迹都是椭圆。


有什么不同呢？以地球公转为例，太阳处在椭圆的一个焦点上，地球公转就有近日点和远日点。近日点转动半径变小，转动惯量变小，公转速度就变大。反之，远日点的公转速度就变小。要知道，这本质上就是开普勒第二定律啊。



行星公转的角动量守恒（图片来源：维基百科）



16世纪，丹麦天文学家第谷毕生致力于行星轨道的观测与数据记录，并将这些数据留给他的德国学生开普勒。开普勒花费二十年，反复研究计算这些数据，得出了天体运行规律，他也因此被称为“天空立法者”。


正是基于开普勒等人的研究，牛顿爵士才得以站在前人的肩膀上，计算出著名的万有引力定律，改变了近代物理学的进程。


开普勒第二定律的表述为：


在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。


为保证相等时间内地球与太阳连线扫过的面积相等，近日点地球公转速度要比远日点大，好像太阳的胳膊拉着地球旋转一样。我们可以通过一个转椅模拟：


坐在办公室的转动椅上，两手分别拿一个重物，展开双臂，让自己转动起来，然后将手臂收回，你能感觉到转速瞬间变大。这和自由体操和花样滑冰运动员在做旋转动作时收回双臂以加快旋转道理是一样的。公园里脚踩的转动圆盘就可以完成这样的实验。


花样滑冰的转动原理（图片来源：文献2）


角动量守恒的适用范围既“致广大”，又“尽精微”。小到一对电子的自旋。在量子力学的世界里，一对电子对似乎是虚空喷射出的“零和”守恒物质。要么是一种纠缠态：一个电子处于上旋态，另一个电子一定处于下旋态。要么，干脆一起湮灭吧。而将眼光跳出太阳系以外，我们会发现，太阳这颗恒星也是“不恒”的。太阳也在拖拽着它的行星们向着银河系的中心螺旋前进。


这些都超出了我们的感知尺度。但如果我们注意观察，会发现生活中随处可见角动量守恒：自行车前进时的平衡、扔飞盘、打水漂、螺旋桨、陀螺仪.....




写在最后


无聊的时候，你还可以利用角动量守恒来荡秋千。


具体教程如下：坐在秋千上，先通过脚蹬地面获得一个初始状态（也可以通过身体前后倾获得初状态）。在最高点时伸腿，降低重心，使动能变大，速度变大；在最低点时收腿，此时角动量守恒，转动惯量变小，转速变大。如此往复，你就可以自己快乐地荡秋千了。


如果空中转体太难操作，不妨用荡秋千来感受一下角动量的存在吧。无（奇）用（怪）的知识又增加了！