莫比乌斯带开辟的数学研究:奇妙的单侧曲面
大卫•冈德曼 理查德•冈德曼 6park.com David Gunderman, Richard Gunderman 6park.com 6park.com Image copyright 6park.com Getty Images 6park.com 6park.com 日常生活中,单侧曲面的体随处可见,也许你已经找到过不少了——比如印刷在易拉罐和塑料瓶背面的那个循环利用的通用标识。 6park.com 数学上有一种模型叫做莫比乌斯带 (Mobius strip)。自1858年被德国数学家莫比乌斯 (August Mobius) 提出以来,莫比乌斯带吸引了环境学家、艺术家、工程师、数学家等许多不同的人。 6park.com 莫比乌斯于 1858 年提出了这一单侧曲面带状模型,当时他在莱比锡大学 (University of Leipzig) 担任天文学和高等力学教授。事实上,几个月前一位名叫李斯廷 (Listing)的数学家也提出过这一模型,但一直到1861年才发表。当时,莫比乌斯正致力于研究多面体(由顶点、棱和单面构成的立体图形)的几何理论,而莫比乌斯带似乎只是他的偶然发现。 6park.com 莫比乌斯带可以这样制作:取一张纸条扭转任意奇数个半圈,然后用胶带将其两端粘贴在一起以形成一个环。如果用铅笔沿着带子的中心画一条线,你会发现这条线从一面延伸到了另一面。 6park.com 6park.com如何用数学破解迷宫? 6park.com你问我答:数学本科毕业生如何选硕士? 6park.com传说中数十米高“疯狗浪”的科学根据 6park.com人与艺术的新关系:令人惊讶的光影艺术品 6park.com如果没有数学我们如何测量 6park.com 6park.com 6park.com 6park.com Image copyright 6park.com Getty Images 6park.com 6park.com 6park.com Image caption 6park.com 6park.com 自从 1858 年被人发现以来,莫比乌斯带吸引了艺术家、工程师以及许多不同的人。 6park.com 6park.com 6park.com 单侧平面物体的概念启发了艺术家创作。比如荷兰单面设计师埃舍尔 (MC Escher),在木版画“莫比乌斯带 2(Mobius Strip II)”中,他呈现了红蚁一只接一只地沿着莫比乌斯带缓缓行进的情景。 6park.com 莫比乌斯带令人惊艳的性质可不止这一个。例如,如果用剪刀沿着刚刚画的线将带剪开,你可能会吃惊地发现,眼前并没有出现两条窄了一半的莫比乌斯带,而是一条长长的双面环。如果手头没有纸条,也可以看看埃舍尔的作品“莫比乌斯带 1(Mobius Strip I)”。这幅作品呈现了沿着中心线将莫比乌斯带剪开后的情景。 6park.com 莫比乌斯带有其视觉魅力,不过它影响最广的还是数学界:它助力推动了拓扑学整个领域的发展。 6park.com 拓扑学家们致力于研究物体经过移动、弯曲、拉伸或扭转后,在不进行切割和黏合的前提下,保持不变的性质。例如,从拓扑的角度来看,一对缠绕在一起的耳塞和一对未缠绕在一起的耳塞是一样的,因为只需要经过移动、弯曲或者扭曲操作,无需切割、黏合,前后两者就能互相转变。 6park.com 6park.com 6park.com 6park.com Image copyright 6park.com Wikimedia Commons 6park.com 6park.com 6park.com Image caption 6park.com 6park.com 就连古代罗马人在其设计中都用到了类似莫比乌斯带的结构。 6park.com 6park.com 6park.com 从拓扑学角度来说,咖啡杯和甜甜圈具有相同的结构。这是因为两者都只有一个孔,所以只需通过拉伸和弯曲就可以将其中一个变为另一个的形状。 6park.com 孔是一种只能通过切割和黏合来实现数量增减的性质,这一性质叫做物体的“亏格” 。根据这一理论,我们可以这样说:甜甜圈有一个孔,耳塞没有孔,所以耳塞和甜甜圈的拓扑学结构不同。 6park.com 然而,莫比乌斯单侧平面带和普通双面圆环(如硅酮制腕带)都只有一个孔,亏格理论却不能够在拓扑学结构上将两者区分开来。 6park.com 另一种叫做“可定向性”的性质,能够将莫比乌斯带和普通双面环区分开来。与孔的数目一样,物体的可定向性只能通过切割和粘合来改变。 6park.com 设想一下:在一透明曲面上写段话,然后在这一曲面上四处行走。一圈下来后,如果那段话还是如此,那么这一曲面是可定向的。如果一圈下来,文字已经变成了镜像,只能从右往左读,那就是不可定向的。不管怎么走,写在双面环上的文字永远都是从左往右读的。 6park.com 莫比乌斯带具有不可定向性,双面环则是可定向的,因此莫比乌斯带和双面环的拓扑学结构不同。 6park.com 可定向性的概念含义重大。以化学中的对应异构物为例:有些化合物具有相同的化学结构,但有很重要的一点不同:它们互为镜像。例如维克斯吸入器 (Vicks inhaler) 的一种成分L-甲基苯丙胺,它的镜像 D-甲基苯丙胺 是A 级违禁毒品。如果生活在不可定向性的世界中,这些化学物质将变得难以区分。 6park.com 莫比乌斯的发现为研究自然科学开辟了新的道路,拓扑学研究不断取得惊世成果。例如去年,科学家通过拓扑学发现了物质的新状态;数学家文卡特什 (AkshayVenkatesh)将拓扑学与其他领域(如数论)融会贯通,也因此受颁今年数学界的最高奖项——菲尔兹奖。 6park.com 评分完成:已经给 CPC 加上 500 银元!
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