我挖掘了下记忆，想起来老张的题目与香农的信息熵定义的证明过程中的一个引理的证明方法非常象。

该引理如下：

若f是正实数上的单调上升函数，且对一切正整数m,n，有f(mn)=f(m)+f(n),
则f(x)=Clog(x),C是正常数。

可以参考复旦大学1979年概率论第一册第187页。
也可参考wiki， https://en.wikipedia.org/wiki/Entropy_(information_theory)

我的证明就是因为想起了这个引理的证明过程才很快找到思路的。