連鎖悖論與含混言辭

by Joe 6 MONTHS AGO 
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2015年，港媒報導香港政府的四大基建超支逾900億，社會譁然，因為超支數目實在龐大。不難想像，若只超支1、2元，大眾的反應定然有別。有趣的是，我們其實可組織一個連鎖論證，證明900億超支不多。這組論證的第一步很簡單：

超支1元只超支很少

如果超支1元只超支很少，超支2元也只超支很少

是故，超支2元只超支很少

首先，我們應該都同意超支1元只是小超支。再者，如果1元是小超支，沒有理由2元會忽然變成不小的超支，所以，如果1元是小超支，2元也是小超支。由此可見，超支2元是小超支。然而，依同樣思路推論下去，連900億超支也是小超支：

是故，超支2元只超支很少

如果超支2元只超支很少，超支3元也只超支很少

是故，超支3元只超支很少

如果超支3元只超支很少，超支4元也只超支很少

是故，超支4元只超支很少

如果超支4元只超支很少，超支5元也只超支很少

是故，超支5元只超支很少

　⋮

如果超支99元只超支很少，超支100元也只超支很少

是故，超支100元只超支很少

　⋮

如果超支89,999元只超支很少，超支90,000元也只超支很少

是故，超支90,000元只超支很少

　⋮

是故，超支9,000,000元只超支很少

　⋮

是故，超支90,000,000,000元只超支很少

900億超支顯然並非小超支。退一步來說，即使接受900億超支是小超支，我們也不應該接受這組論證，因為這組論證可再延續，隨之連9兆、9京都是小超支。事實上，這組論證可濃縮成三個句子：

（一）

超支1元只超支很少

對於任何數目n，如果超支n元只超支很少，超支n+1元也只超支很少

是故，超支多少錢都只超支很少

第一個前提難以反對。要反對第二個前提也不容易，因為反對第二個前提就等於主張：

至少有個數字n，超支n元只超支很少，但超支n+1元實非只超支很少

換言之，反對第二個前提等於主張有一條明確界線可以劃分「小超支」和「不是小超支」，但這樣的界線實在難以想像。這兩個前提推導出的結論相當荒謬，因為有些超支的金額顯然不可稱為「只超支很少」。

這其實是連鎖悖論（sorites paradox）的例子，傳統的沙堆悖論是另一個例子：

（二）

1粒沙無法形成沙堆

對於任何數目n，如果n粒沙無法形成沙堆，則n+1粒也無法形成沙堆

因此，再多的沙都無法形成沙堆

著名的 Wang’s Paradox ，同樣是連鎖悖論的個例：

（三）

1是小數字

對任何數字n，如果n是小數字，則n+1也是小數字

因此，所有數字都是小數字

值得一提的是， Wang’s paradox 來自著名的邏輯學家王浩（Wang Hao）。王浩本來只是用這個例子示範連鎖悖論，但由於圈內不少人都接著用「Wang’s Paradox」來稱呼這個例子，加上著名哲學家 Michael Dummett 以此為題寫了一篇文章探討數學哲學，所以不少人討論這個例子喜用「Wang’s Paradox」，而不是「sorites paradox」（連鎖悖論）。

這幾個連鎖悖論同樣用了含混詞（vague term）。甚麼是含混詞？「高」、「矮」、「肥」、「瘦」、「冷」、「熱」、「老」、「幼」是標準的含混詞，全都可以用來製造連鎖悖論，譬如：

（四）

身高2米是長得高

對任何身高n，如果身高n毫米是高，則身高n-1毫米也是高

是故，身高1毫米也是長得高

令「Ｘ」為某含混詞。一般而言，「Ｘ」具有三個特徵：一，有些例子明顯是Ｘ；二，有些例子明顯不是Ｘ；三，有些例子不清楚是否Ｘ。比如「高」便符合這三個特徵：有些人明顯是高的，有些人明顯不是高的，也有些人不清楚算不算高。「超支很小」、「可形成沙堆」、「小數字」都有這三個特徵。

含混詞的第三個特徵令「明顯是Ｘ」和「明顯不是Ｘ」之間難以劃出一條明確界線，繼而使連鎖悖論的第二個前提難以推翻。要看出這點，大可用「富翁」和「百萬富翁」做個比較。首先，我們可用「富翁」這個詞來組織一個連鎖悖論：

（五）

有900萬的人是富翁

對於任何數目n，如果有n元的人是富翁，則有n-1元的人也是富翁

是故，有1元的人是富翁

我們難以在「富翁」和「不是富翁」之間找出明確界線，繼而難以推翻第二個前提。可是，若是將「富翁」改成「百萬富翁」，這論證便有明顯的瑕疵。

（六）

有900萬的人是百萬富翁

對於任何數目n，如果有n元的人是百萬富翁，則有n-1元的人也是百萬富翁

是故，有1元的人是百萬富翁

有1,000,000元是百萬富翁，但有999,999元不是百萬富翁；第二個前提明顯錯了。因為「百萬富翁」有明確界線（即，100萬），不符合含混詞的第三個特徵，令論證（六）的第二個前提出問題。相反，「富翁」符合含混詞的三個特徵，因此我們難以說論證（五）的第二個前提為假。