如果你关注过日出日落的时间，会发现一个问题，每天日出和日落的时间并不是以中午12点对称的。比如按下面网址查询东经120°北纬40°，在2022年3月20日春分这天的日出时间为早上06:03:28，日落时间为晚上18:11:33。 
https://richurimo.bmcx.com/120__jw__40__time__2022_03__richurimo/ 
 
    按照春分点的定义，春分点为黄道与天赤道的交点，春分这天太阳直射地球赤道，昼夜的时间应该是刚好平分。 
 
    实际上，我们是按照太阳上缘冒出和消失在地平线的那一刻，分别记日出和日落时间的。所以，日出/日落的时间要比理论上（将太阳看成一个点）提前/延迟半个太阳视直径的时间，太阳的视直径约大约0.5°，地球自转经过0.25°的时间约1分钟。 
另外，太阳光会被大气折射，折射导致太阳的实际位置在低于地平线的时候就会被看到，地平大气折射的影响约35′（分，一度的六十分之一），地球自转经过35′的时间约2分20秒。 
    这两项影响加起来约3分20秒左右。再考虑到北纬40°太阳是斜着升起的，因为太阳移动的速度是匀速，太阳斜着升起达到预定点的时间要比垂直升起长，所以上缘被看到的时间还要再提前一些。这三项的合计影响约4分钟。如果去掉这4分钟的提前/延迟量，春分这天按照太阳中点冒出/消失地平线的日出日落时间，分别是06:07:30，18:07:31。这样，日出日落的时间整体“晚了”7分半左右，也就是日中（太阳在最高点。更专业的说法是太阳中点经过当地子午圈）时间“晚了”7分半。 
 
    如果再查下全年的日中时间，你会发现日中时间相比中午12点，即有提前的，也有延迟的，最多的偏差接近17分钟。一年中只有4月15日，6月14日，9月1日，12月25日这四天前后的日中时间没有偏差。 
 
    当然，各地因为经度不同，地方时间与所在时区的时间有差异，可根据所在位置与时区线的经度差换算成时间即可（24小时×经度差÷360°）。为方便，本文按东经120°时区线说明日出日落时间。 
 
    下面介绍日中时间的偏差是如何产生的，以及一些与时间有关的天文知识。最后介绍如何对日中及日出日落的时间进行定量估算。 
 
一. 黄道、天赤道及春分点 
 
    天球，天球是以地心为中心，半径无限大的假想球。从地球上看，所有的天体都在天球面上运行。基于天球定义的各种坐标系有各自的经度和纬度，以地球赤道面定义的赤道坐标系，经纬度分别称赤经，赤纬；以黄道面定义的黄道坐标系，经纬度分别称黄经，黄纬。 
 
    天赤道，天赤道是地球的赤道面与天球相交的大圆。天文上一般简称赤道。天赤道是由地球自转产生的。 
 
    黄道，黄道是从地球观察太阳相对于背景恒星的行进轨迹，注意这不同于每天太阳东升西落的运行轨迹。在地球任何一点测量黄道，都是一致的。黄道等同于地球公转轨道面与天球相交的大圆。从地球上看，太阳每天在黄道上自西向东行进约1°，一年累积下来，太阳在黄道上行进一整圈。 
 
    黄赤交角，黄赤交角是黄道面与赤道面的交角，大约23.5°。地球自转受到太阳月亮等的引力影响，自转轴会有各种小辐摆动。地球公转也会受到月亮及各行星的影响。这两项导致黄赤交角不是一个固定的值，会随着时间有周期性的变化。 
 
    春分点，黄道与赤道有两个相交的点，如图一，太阳在黄道上逆时针方向行进（北天极视角），从赤道坐标系的南半球沿黄道运行至与天赤道的交点称为春分点。  6park.com
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图一 、天球、黄道、天赤道 
 
二. 真太阳日、平太阳日与钟表计时 
 
    真太阳日，古人记录时间，太阳是最重要的参照物，日晷就是古人利用晷针的投影来测量时间的仪器（晷字的古义是太阳的影子）。真太阳日的定义是太阳的中心点连续两次经过正午（太阳达到最高点）的时间间隔。真太阳日是以太阳为参照标准来测量地球自转周期的，是地球观察者的视角，符合人们的日常生活习惯。 
 
    由于地球绕太阳公转的轨道是椭圆，地球公转速度在轨道各点上是不一致的，这导致太阳在黄道上的行进速度不是均匀的。另外，由于黄道与赤道有交角存在，这导致太阳每天在黄道上经过的黄经度数与其投影到赤道上的赤经度数不一致。这两项导致了每个真太阳日的长度是不一样的。 
 
    随着科技进步，人们对时间精度的要求越来越高，真太阳日的不均匀会导致很多问题。因此，天文家们提出了平太阳日的定义。 
 
    平太阳日，设想有一个假的太阳，在天赤道（注意不是黄道）上匀速运行，且以一个回归年为运行周期。假想的太阳连续两次经过正午的时间间隔称为平太阳日。由于这个假想的太阳是在天赤道上匀速运行的，每个平太阳日的时间间隔相等，等于一年内真太阳日长度的平均值，故而称之为平太阳日。每个平太阳日的长度是24小时整，即86400秒。 
 
    钟表计时，我们的钟表是按照平太阳时间计时的，真太阳时间与平太阳时间的不一致，导致了按平太阳时间计时的中午12点不是真正的日中时间。 
 
    下面几张互联网上找到的图，体现了平太阳时间与真太阳时间的差异。图二及图三分别是两张合成的照片，照片的时间跨度一年，将每间隔十天在相同时间拍的照片合成在了一起。照片中太阳的轨迹画了一个8字。图四是太阳的赤纬（高度）和日中时间在一年中的变化，这也是一个8字形。图二及图三的太阳轨迹合成图就是日中时间偏移的真实反应。 
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图二 6park.com
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图三  6park.com
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图四 
 
三.  恒星日与地球一年到底自转几圈 
 
    恒星日，天文学上以恒星为参照标准测量地球自转一周的时间，称之恒星日。一个恒星日等于23小时56分4秒，即86164秒，是地球真正的自转周期。 
 
    为什么恒星日比平太阳日（86400秒）短呢？这是因为两者的参照标准不一样。以地球和月亮为例，从地球上看，月亮总是以一面对着地球。当月亮绕地球旋转一周，从地球观察者看月亮是没有转动的，但实际上从太阳的视角（上帝视角）看月亮已经自转了一周。这就是参照标准不一致带来的差异。 
 
    以太阳为参照标准测量地球自转周期，由于地球的公转方向和自转方向相同，地球自转每经过一个恒星日的时间之后，还要再多出约4分钟的时间太阳才能到日中点。这样一年累积下来，就多了一个恒星日的时间，也就是地球真正的自转实际上多转了一圈。  6park.com
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图五、恒星日与太阳日差异示意图 
 
四. 恒星年、回归年、近点年及岁差 
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    恒星年，恒星年是地球公转的真正周期，是太阳在黄道上连续两次经过同一颗恒星的时间间隔，所以称恒星年。但实际上，因为恒星的自行，太阳的运动等，恒星的位置并不是固定的。所以按照恒星测年也有一定的误差，不过误差很小，1恒星年＝365.2564日。恒星年一般只用于天文。  6park.com
    回归年，回归年也称太阳年，是太阳连续两次经过春分点的时间间隔。 
 
    地轴进动，地球自转导致地球赤道部分的半径比两极的半径要大，地球实际是个椭球体。由于地轴与公转轨道面有66.5°左右的夹角，太阳月亮等天体对地球赤道部分的引力大于对地球被太阳直射部分的引力，这样的引力差对地球作用的结果就是要把地轴拉得尽量垂直于公转轨道，结果造成了地轴的进动（陀螺旋转的时候，陀螺的轴绕着铅直线转动，这就是进动）。另外，虽然月亮的质量小，但因为月亮离地球近的多，像潮汐力一样，月亮的引力对地轴进动的影响最大。 
 
    岁差，地轴进动的结果，导致了春分点在黄道上的位置每年向西移动约50″（角秒，一角秒等于一度的三千六百分之一），这造成回归年的长度短于恒星年，恒星年和回归年的时间差称为岁差。春分点在黄道上每隔25800年左右移动一周，这个时间也是地轴进动的周期。其实天文学家制订的万年历，万年的含义就是指岁差是以万年为周期的。 
 
    章动，由于月亮绕地球转动的轨道平面（白道）与黄道面有5°左右的夹角，月球的引力使得地球在平均黄道面的上下进行摆动，天文学上称之为章动，章动的周期是18.6年。章动也会对每年春分点的位置产生影响。 
 
    地轴进动和章动，除了太阳和月亮的主因外，其他行星也有影响。所以太阳在黄道上的行进是非常复杂的，其结果是回归年的时间每年都不一样。现在的回归年长度是根据1980～2100年这121个回归年计算的平均值，1回归年＝365.2422日。 
 
    近点年，近点年是地球连续两次经过近日点的时间间隔。其他行星（其中木星的影响最大）的引力会对地球轨道产生摄动，因此地球的近日点位置每年都是变化的，天文上称之为轨道进动。地球的近日点在黄道上平均每年向东移动11″，大约112000年移动一周。因为近日点向东移动，近点年的时间要比恒星年长一些，1近点年＝365.2596日。春分点和近日点在黄道上一个向西行进一个向东行进，假如某年春分点和近日点重合，大约21000年后这两点会再度重合。目前，地球近日点的日期在1月2～5日之间变动。 
 
    我们的历法用回归年纪年，而不是恒星年或近点年，因为回归年体现了一年四季和节气的固定变化，如果我们使用恒星年纪年，上万年后，6月份会变成冬天最冷的时节，而1月的小寒大寒节气，又会变成一年中最热的时节。 
 
 
五. 日中及日出日落时间的计算方法 
 
    前面讲了导致每天日出日落时间差异的原因，下面说下如何推导计算日中及日出日落的时间。 
 
1. 计算地球在公转轨道上扫过的角度 
 
    由于地球公转轨道是椭圆，计算地球在公转轨道上扫过的角度需要用到开普勒方程，M=E-e*sinE。等式左边M称为偏近点角，是地球从近日点开始运行到某点后，运行时间t与轨道运行周期的比值。等式右边e为椭圆离心率。E称为平近点角。开普勒方程是超越方程，可以用迭代的方法，按照指定的精度求近似解。  6park.com
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图六
 
    如图六，地球从近日点开始经过时间t之后到达P点，P点垂直于长轴投影到椭圆外接圆上的点P’， P’与椭圆中心的连线与椭圆长轴的夹角就是平近点角。F为椭圆焦点，O为椭圆中心点，θ是地球从近日点开始扫过的角度，称为真近点角，是我们要最终求解的。 
 
    图六中，按照椭圆上点到焦点的距离公式，可得θ与平近点角，cosθ=(CosE-e)/(1-e*CosE)。从而可以求得地球在公转轨道上从近日点运行到某个日期扫过的角度。 
 
2. 计算椭圆轨道引起的每日时间差 
    对于平太阳日，等同于假想地球按照圆形轨道匀速绕太阳旋转，每个平太阳日的长度是24小时，地球每天扫过的弧度是一样的。 
 
    对于真太阳日，根据前面1.，可以计算出实际地球从近日点开始每个真太阳日时间扫过的弧度。 
 
    地球自转经过这两个弧度的时间差，就是椭圆轨道导致的真太阳日与平太阳日的时间差。这里称之为椭圆时差。 
 
3. 计算黄赤交角引起的每日时间差 
 
    对于真太阳日，由于太阳在黄道上运行，假定太阳从A点经过24小时之后运行到B点，那么这两个点各自应的黄经值和赤经值是不一样的，进而这两点的黄经差与赤经差也是不一致的。计算出A、B点对应的赤经值，可得到A、B两点之间的赤经差，就可以算出地球自转经过A、B两点的时间。 
  而平太阳日是假设太阳在天赤道上运行，假黄道与赤道重合，黄经差就等于赤经差，假定太阳从C点经过24小时之后运行到D点，根据C、D两点之间的赤经差算出平太阳日的地球自转经过C、D两点的时间。 
 
  上面这两个时间的差，就是由黄赤交角导致的真太阳日与平太阳日的时间差。这里称之为黄赤时差。要注意的是，计算赤经差，要使用1.计算的地球每日实际扫过的角度。  6park.com
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图七、太阳黄经值与赤经值 
 
    下面简单推导一下太阳的黄经值所对应的赤道坐标系上的赤经值。如图七，θ为黄道面上太阳从春分点开始运行到某个日期经过的角度，即黄经值。η为此时的太阳在赤道坐标系下的经度（赤经）值，α为黄赤交角。设天球半径为R，则OH=Rcosθ。ST与赤道面垂直，SH与OH垂直，则有TH与OH垂直，∠SHT=α，可得太阳的赤经值，η=arctan(cosα*tanθ)。 
 
4.已知某地的经纬度，求某日期的日照时长 
 
    首先求太阳的黄纬值所对应的赤道坐标系上的赤纬值，也就是求太阳在某个日期相对于天赤道的角度。  6park.com
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图八、太阳黄纬值与赤纬值 
 
   如图八，θ为黄道面上太阳从春分点开始运行到某个日期经过的弧度，δ为此刻的太阳在赤道坐标系下的纬度（赤纬）值，α为黄赤交角。设天球半径为R， ST与赤道面垂直，SH与OH垂直，则有TH与OH垂直，∠SHT=α， SH=Rsinθ可得太阳的赤纬值，δ=arcsin(sinα*sinθ)。 
 
    下面求日照时长，这里需要用到地平坐标系。 
地平坐标系，是以观察者为中心原点，观察者所看到的地平面为基圈建立的球坐标系。地平坐标系原点过北天极的直线与地平圈平面的夹角等于原点所在的地球纬度。对于地面的观察者，地平坐标系在地平圈以下的半球是观察不到的。白昼对应的就是太阳在天赤道坐标系中所在的赤纬圈与地平坐标系上半球相交的弧长所对的圆心角。  6park.com
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图九、太阳日照时长图解 
 
    如图九的地平坐标系中，O为原点，A，B分别为太阳纬度面与地平坐标系南北轴及赤道坐标系极轴的交点，OB⊥AB，∠AOB=β (原点所在的地球纬度)。而 2(π-γ)就是太阳日照东升西落跨过的角度。 
图中δ为太阳赤纬值，OS=R  ，PB=BS=Rcosδ ，OB=Rsinδ ，最后可得，γ=arccos(tanδ*tanβ)。 
 
5. 太阳升起角度对日出日落时间的影响 
 
    太阳升起的角度定义为过地平圈与太阳纬度圆的交点，分别与地平圈、太阳纬度圆相切的两条切线的夹角。只有在地球赤道上，太阳升起的方向与地平线是垂直的，其他纬度，太阳升起的角度均小于90°。  6park.com
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图十、太阳升起方向示意 
 
    如图十，如果太阳为一个点，那么太阳运行到O点就代表太阳升起了。但实际上，太阳是有大小的，当太阳运行到了O’点时，就已经升起了（太阳上缘冒出地平线）。太阳从O点运行到O’点的时间，就是太阳升起角度对日出时间的提前量。O'T是太阳的视半径，ε为太阳升起的角度，则有OO'=O'T/sinε ，可得太阳升起时间的提前量，t=太阳视半径/(360sinε)  6park.com
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图十一、太阳升起角度图解 
 
    下面求ε。如图十一的地平坐标系中，O为原点，A，B分别为太阳纬度面与地平坐标系南北轴及赤道坐标系极轴的交点，OB⊥AB ，∠AOB=β (原点所在的地球纬度)。过A点分别做垂线，则AC⊥OL，AD⊥BL，AC与过L点的地平圈的切线平行，AD与过L点的太阳纬度圆的切线平行，所以∠DAC=太阳升起的角度。δ为太阳赤纬值，δ=arcsin(sinα*tanθ)。再因为OB与太阳纬度面垂直，所以∠BSO=∠BLO=δ。后面推导从略，最终得到太阳升起的角度，ε=arccos(sinβ/cosδ)。 
 
六、日中及日出日落时间的计算结果 
因为涉及的计算有些复杂，本节内的计算结果及excel图都用VBA写的程序计算结果生成的。 
 
1.真太阳日与平太阳日的每日时差 
 
    以2022年为例，每日时差的最大值在冬至附近，约为29.9秒，最小值在秋分前6天左右，约为负21.6秒。 
 
    从与日本国立天文台时差图的比较来看，计算的结果基本一致，几乎没有误差，说明对椭圆轨道以及黄赤交角导致的平真太阳日时间偏差的计算方法是准确的。这两项也是导致真平太阳日时差的最主要因素，其他影响可忽略。  6park.com
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图十二、日本国立天文台时差图  6park.com
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图十三、每日时差excel点图 
 
2. 真太阳日与平太阳日的日期时差 
 
    日中时间偏差的计算要用1.真/平太阳日的时差进行累加。值得注意的是，需要将每日的椭圆时差与黄赤时差分别累加之后，再相加。椭圆时差累加的起算点是近日点，黄赤时差累加的起算点是春分点。起算点不同会导致计算结果不一致，而每年的近日点和春分点时间都不是固定的，所以不同年份的日中时间偏差会有小的差异。 
 
    图十四是椭圆时差与黄赤时差随时间的变化图。图十五是两者相加后的日中时间的变化图，可与前面图四进行一下对比，另外，此图中的曲线与横轴的中线（中午12点）有四个交点，正是前面讲的4月15日，6月14日，9月1日，12月25日，日中时间没有偏差的这几天。两图横轴从1月1日起跨度一整年，纵轴单位为秒。  6park.com
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图十四、椭圆时差与黄赤时差excel点图  6park.com
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图十五、日中时间偏差excel点图 
 
 
    图十六为同一时间，不同日期的太阳赤纬值与日中时间的计算结果excel点图，横轴为日中偏差时间，单位为秒，纵轴为太阳赤纬，单位为度，可与图四进行一下对比。以2022年为例，各天象点的差值累积，春分点为453秒，秋分点为负451秒，近日点为283秒，远日点为255秒。与国内网站查询的结果相比，最大相差10秒左右，平均差3.4秒。  6park.com
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图十六、太阳赤纬时差excel点图 
 
 
3.白昼时间 
 
    白昼时间的计算，黄赤交角和所在地的纬度是两个主要参量。 
 
    因为地轴的进动，黄赤交角是缓慢变化的，近期黄赤交角的变化公式为=23°27′8.26″-0.4684″t，t是从1900年起到当前年的差值。 
 
    纬度有一个需要注意的地方，一般说纬度是指大地（地理）纬度，即所在地的法线与地球赤道面的夹角。由于地球是赤道半径比两极半径长的椭球体，所以大地纬度比地心纬度（所在点到地心直线与赤道面的夹角）要大一些。地心纬度 β与大地纬度β’的关系： tanβ=(b^2/a^2)*tanβ' ，a，b是地球赤道半径及极点半径。 
 
4.日出日落时间计算结果与相关网站比较 
 
    日出日落时间，没有两个网站的查询结果是完全一致的。以前，国家授时中心网站上曾有日出日落时间的查询，现在已经查不到了。 
 
国外网站，主要参考这里的： 
https://zhuanlan.zhihu.com/p/97761494?utm_source=com.tencent.tim 
 
    日中时间偏差的计算结果与国内网站比较，平均误差不到4秒，相当于最大偏差值（近1000秒）的0.3%，符合度比较好。 
 
    白昼时长，地平大气折射角度设置为36′。当纬度小于60度时，计算结果与网站查询结果的最大误差在一分钟左右，平均误差约30秒，如果按分钟来看基本没有误差。当纬度大于60度时，临近极昼极夜日期的白昼时长，因为太阳升起角度太小，计算误差较大，计算白昼时长的方法改为按照太阳上缘点赤纬值来计算白昼时长。 
 
5. 极圈附近的极昼极夜 
 
    太阳的视半径及地平大气折射，在极圈附近对白昼时间的影响尤甚。南北极圈附近，比如北纬67°，已经过北极圈（北纬66.5°）了，但冬至前后并没有极夜，冬至的白昼时长约一个半小时，而极昼从6月2日至7月10日。再如北纬66°，还没到北极圈，但白昼从6月13日至6月30日。 
 
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